Patroon

Beste Laura,


Je stuurde ons een leuke vraag. Nou lossen wij niet zomaar alle wiskundige problemen van willekeurige lezers op, hoor. Maar ik vind de jouwe leuk genoeg om een stukje aan te wijden!


Je hebt een patroon ontdekt in de leeftijden van jou en je moeder. Je schrijft: 'Toen ik vier jaar werd, was mijn moeder veertig. Het jaar daarna, toen ik vijf werd, was mijn moeder eenenveertig. (...) Nu is het zo dat vier plus nul (veertig), vier is. Vier plus één (eenenveertig), is vijf. De som van de cijfers van mijn moeders leeftijd was dus hetzelfde als mijn leeftijd.'


Dit ging zo door: elk jaar weer zijn de cijfersommen van jullie leeftijden gelijk. En je vraagt je af: 'Is er in de wiskunde een verklaring hiervoor? Of is dit gewoon puur toeval?'


Er is een wiskundige verklaring, inderdaad. De achterliggende reden is dat je moeder 36 was toen jij geboren werd, en 36 is een negenvoud. De cijfersom heeft namelijk te maken met negenvouden.


De cijfersom van een getal heeft altijd dezelfde rest bij deling door 9 als dat getal zelf. Ga maar na: 40 = 4 × 9 + 4, dus 40 geeft rest 4 en ook cijfersom 4.


En 87 = 9 × 9 + 6 geeft rest 6, en de cijfersom 8 + 7 = 15, wordt 1 + 5 = 6 (en 15 heeft zelf ook rest 6).


Omdat jij en je moeder precies een negenvoud schelen, hebben jullie bij deling door 9 altijd dezelfde rest en dus dezelfde cijfersom.


Maar hoe komt dat nou? Dat komt doordat getallen zijn opgebouwd uit machten van 10. De cijfers in het getal 4.357, bijvoorbeeld, betekenen achtereenvolgens dat er 4 duizenden zijn, 3 honderden, 5 tientallen en 7 eenheden.


Een belangrijk inzicht is dat die machten van 10 altijd te schrijven zijn als een negenvoud plus één. Kijk maar: 100 = 99 + 1 en 10.000.000 = 9.999.999 + 1, enzovoorts. Al die getallen die uit alleen negens bestaan, zijn deelbaar door 9.


We gaan als voorbeeld 4.357 door 9 delen. Bedenk dat we niet geïnteresseerd zijn in hoe vaak 9 erin past, maar alleen in de rest die overblijft.


We schrijven de machten van 10 als een negenvoud plus één:


4.357 = 4 × (999 + 1) + 3 × (99 + 1) + 5 × (9 + 1) + 7 × 1.


Oftewel:


4.357 = 4 × 999 + 4 + 3 × 99 + 3 + 5 × 9 + 5 + 7.


Om te zien wat de rest is, hoef je niet te kijken naar de termen met 999 of 99 of 9: die zijn sowieso deelbaar door 9.


De andere vier termen zijn opgeteld 4 + 3 + 5 + 7, en dat is precies de cijfersom! Dus het oorspronkelijke getal heeft dezelfde rest bij deling door 9 als de cijfersom. En dat gaat precies zo voor elk getal.


Omdat jullie met dezelfde rest bij deling door 9 begonnen zijn (rest 0), is dat altijd zo gebleven. Elk jaar wordt de cijfersom voor jullie beiden eentje hoger, totdat je weer bij een negenvoud bent met cijfersom 9, dan wordt de cijfersom daarna weer 1.


En waarom je vraag zo leuk is: hij laat goed zien wat wiskunde vaak is. Een patroon herkennen, je afvragen of het patroon altijd geldt, eerst jezelf daarvan overtuigen, en het dan uiteindelijk zelfs bewijzen!


Groetjes,


Jeanine

Meer over

Wilt u belangrijke informatie delen met de Volkskrant?

Tip hier onze journalisten


Op alle verhalen van de Volkskrant rust uiteraard copyright. Linken kan altijd, eventueel met de intro van het stuk erboven.
Wil je tekst overnemen of een video(fragment), foto of illustratie gebruiken, mail dan naar copyright@volkskrant.nl.