Ouderdomsgoeroe haalt 68 jaar oud raadsel in de wiskunde uit de knoop

Verouderingsgoeroe Aubrey de Grey leverde in zijn vrije tijd een bewijs waar wiskundigen lang niet uitkwamen. Met veel geluk, zegt een expert. 

Verouderingsgoeroe Aubrey de Grey Foto de Volkskrant

Het klinkt als een onschuldig raadseltje, maar het heeft wiskundigen decennialang tot waanzin gedreven: het Hadwiger-Nelsonprobleem. Teken een willekeurig netwerk van onderling op gelijke afstand verbonden punten; hoeveel kleuren zijn er dan minimaal nodig om te zorgen dat nooit twee aangrenzende punten dezelfde kleur hebben? Voor een vierkant is het simpel: twee kleuren volstaan. Een driehoek vergt al drie kleuren. Daarna wordt het ingewikkelder. Maar volstaan in het algemeen vier kleuren? Vijf? Tien? Honderd?

Het was in 1950 de Californische wiskundestudent Edward Nelson die de vraag opwierp, gewoon omdat het kon. En al snel wisten wiskundigen de mogelijke antwoorden stevig te beperken: minimaal vier kleuren, want van drie is er een voorbeeld. En anderzijds bleek er ook een simpele tegeling te bestaan met zeshoeken die met zeven kleuren helemaal klopt, dus het maximum is in elk geval zeven kleuren of minder.

Zelfs de legendarische reizende wiskundige Paul Erdös bemoeide zich ermee, maar scherper dan ergens tussen vier en zeven was men daarna zestig jaar niet gekomen. Tot een oude bekende uit een heel andere hoek van de wetenschap de ondergrens vorige week bijstelde. Er zijn minimaal vijf kleuren nodig, schreef verouderingsgoeroe Aubrey de Grey in een bewijs dat hij online publiceerde.

Wiskundigen wereldwijd veerden op. Niet omdat het een centraal probleem is, maar wel omdat iedereen het kent, zegt de Delftse wiskundige Dion Gijswijt. ‘Het is intrigerend omdat het probleem simpel klinkt en de oplossing zo lastig blijkt. Ik denk dat veel jonge wiskundigen er wel eens over nagedacht hebben.’

Bioloog met wiskunde hobby

De Grey is niet jong, want 55 jaar en geen wiskundige, maar een bioloog met nogal extreme opvattingen over de maximale levensduur van de mens. We kunnen gemakkelijk duizend worden, denkt hij. Kwestie van dieet en technologie. Maar als zelfs hij moe is van zijn opmerkelijke opvattingen mag hij graag met ingewikkelde wiskundige bordspelen wat ontspannen. En daarbij, vertelde hij tegen de Amerikaanse wetenschapssite Quanta Magazine, is het gebeurd. Hij vond met redeneren en een smak computerwerk, deels van wiskundige vrienden, een netwerk waarvoor vijf kleurpotloden volstaan.

De Grey’s voorbeeld-netwerk, gepubliceerd op de website arxiv.org, is 1581 punten groot. Daaraan zie je meteen de moeilijkheid van dit probleem, zegt Gijswijt in Delft. ‘Er zijn gigantisch veel mogelijke configuraties. En als je een kandidaat hebt, is het extreem lastig om te controleren dat er niet toch een oplossing voor vier kleuren voor bestaat.’

Maar als zo’n bewijs er eenmaal ligt, is er ook ruimte voor verbetering, zegt de Nederlandse wiskundige Marijn Heule van de universiteit van Texas in Austin, een specialist in efficiënte computerbewijzen. Hij reduceerde De Grey’s voorbeeldnetwerk voor vijf kleuren naar 813 punten en werkte dit weekend nog aan verdere verbeteringen. ‘Elk bewijs bevat elementen die je kunt schrappen, zonder dat het uit elkaar valt. Dat kan hier ook’, zegt hij. Nu de route eenmaal is gevonden, kunnen de tussenstappen worden geoptimaliseerd. Onder de 800 knopen moet kunnen, schat hij.

Een kwestie van geluk?

Volgens Heule heeft De Grey behoorlijk veel geluk gehad met zijn bewijs. ‘Zijn bewijs bestaat uit twee delen, waarvan het eerste het best is onderbouwd, waarna veel lomp probeerwerk het afmaakt. En uit mijn experimenten blijkt dat dat eerste deel niet eens echt nodig was geweest.’ 

Zijn collega Gijswijt in Delft noemt het nieuwe resultaat niettemin een grote verrassing. ‘Vooral omdat de voortgang mogelijk blijkt zonder diepe wiskundige theorie.’ Vandaar ook dat een relatieve amateur als De Grey ermee kan komen.

Een echt definitief eindpunt is ook De Grey’s bewijs niet, omdat het aantal kleuren weliswaar minimaal vijf is, maar is het echt vijf? Of toch zes, immers ook minder dan zeven? Het wachten, zegt Gijswijt, is op iemand die een willekeurig netwerk met zes kleuren inkleurt. Er bestaat een kleuring van de Amerikaanse wiskundecolumnist Edward Pegg met zeven kleuren, waarvan één kleur minder dan 1 procent nodig is. Bijna goed, maar geen hard bewijs.

En waarvoor precies? Er is geen praktisch nut van het Nelson-probleem, zegt Heule in Texas, behalve dat het computerbewijzen op de proef kan stellen. Volgens Gijswijt zijn er wel verwante vraagstukken in de informatietheorie. ‘Maar in feite is het zuivere wiskunde. Intrigerend. Simpel. En lastig. En wie weet levert de speurtocht naar de oplossing wel interessante nieuwe bruikbare ideeën op.’

Meer over

Wilt u belangrijke informatie delen met de Volkskrant?

Tip hier onze journalisten


Op alle verhalen van de Volkskrant rust uiteraard copyright. Linken kan altijd, eventueel met de intro van het stuk erboven.
Wil je tekst overnemen of een video(fragment), foto of illustratie gebruiken, mail dan naar copyright@volkskrant.nl.