Om stapel van te worden

Na driehonderd jaar is eindelijk bewezen hoe je bollen het efficist stapelt. Een beginnetje, weten wiskundigen...

Door Christian Jongeneel

Talloze verwante problemen wachten nog op een oplossing. Iedereen die zes zo groot mogelijke cirkels in een vierkant moet proppen, komt intui¿tief bij de beste oplossing uit: drie groepjes van twee.

Die passen er op vier vergelijkbare manieren in, bijvoorbeeld twee onder elkaar linksboven, twee middenonder en twee rechtsboven. Ieder kind kan dat zien. Maar voor een beetje wiskundige is dat niet genoeg. Die wil een bewijs zien.

Wiskundige dr. Hans Melissen, destijds werkzaam bij Philips, kwam er in 1993 achter dat zo'n bewijs niet bestond. Iemand had het bewijs wel eens geleverd, maar niet gepubliceerd en vervolgens was het kwijtgeraakt. Dus ging Melissen zelf aan de slag en leverde een bewijs van drie kantjes.

'Daarmee ging ik naar prof. Van Lint, een eminente wiskundige', vertelt Melissen, die in 1997 op een algemene versie van het probleem zou promoveren. 'Die was kritisch. Volgens hem moest je zo'n simpel probleem ook in drie regels kunnen oplossen. Hij vroeg me eind van de middag terug te komen. Toen ik me weer aandiende, zat hij nog steeds over het papier gebogen. Het was hem niet gelukt.'

Waarmee Melissen maar wil zeggen dat simpel ogende problemen niet per definitie simpele oplossingen hebben. De driedimensionale versie van Melissens cirkel-probleem behelst de doelmatigste stapeling van bollen. De Amerikaanse wiskundige Thomas Hales kreeg onlangs goedkeuring voor zijn bewijs hiervoor, dat honderden pagina's tekst en diverse computerprogramma's omvat (de Volkskrant, 17 april).

Een 99-procent-bewijs, noemt Melissen het, want niemand heeft zin om die software minutieus door te vlooien op eventuele fouten. Dus helemaal volgens de regels van het spel is de acceptatie van het bewijs niet verlopen.

Het vermoeden van Kepler, zoals het bollenstapelprobleem eeuwenlang heette, is dus een waarheid geworden, maar er zijn nog genoeg wiskundige problemen over (zie kader). Bovendien zijn er interessante varianten van het stapelprobleem, zegt Melissen, die tegenwoordig wiskunde doceert aan de Technische Universiteit Delft. 'Je kunt je bijvoorbeeld afvragen hoe de oplossingluidt als je bollen van verschillende groottes hebt.'

Dat maakt de wiskunde stukken ingewikkelder, maar de praktische betekenis neemt wel toe. De snelste chips maken tegenwoordig bijvoorbeeld gebruik van slim gestapelde silicium-en germaniumatomen. Bij dergelijk gepriegel op atomair niveau is kennis over het stapelen van bollen uiterst welkom.

Er is echter nog een verwant probleem dat Melissen intrigeert: 'Bij de meest efficie stapeling van bollen vul je uiteindelijk 74,05 procent van de ruimte. Maar als je de bollen willekeurig stort, kom je maar tot 60 en met een beetje schudden tot 64 procent.'

Dat laatste getal is proefondervindelijk vastgesteld, want deze situatie komt in de praktijk veel voor. Hoeveel kokosnoten passen er bijvoorbeeld in een scheepsruim? Hoeveel poeder kan er in een potje? Hoeveel weegt een berg grind? Melissen: 'Maar waarom kom je nooit verder dan 0,64? De praktijk schiet met een antwoord niks op, want het kan kennelijk niet efficier als je willekeurig stort, maar wiskundig gesproken is het een interessante vraag.'

Veel wiskundigen halen hun neus op voor het oplossen van puzzels. Zij zoeken liever naar algemene stellingen dan dat zij specifieke gevallen bestuderen. Beroepsmatige interesse komt vooral van coderingsdeskundigen, chemici en poedertechnologen. Het gros van de interesse komt echter van liefhebbers die dol zijn op problemen die je makkelijk kunt formuleren, maar moeilijk kraken. Zij zien er vooral de lol van in, zelfs als een probleem al is opgelost. Want wie denkt dat de studie naar het vermoeden van Kepler nu voorbij is, zit ernaast.

'In het algemeen heb je twee soorten mensen die bezig blijven', vertelt Melissen. 'De eerste groep zijn wiskundigen. Het huidige bewijs is vanwege zijn lengte allesbehalve elegant, dus er valt best nog eer te behalen aan een korter of duidelijker bewijs. De tweede groep bestaat uit crackpots, die ervan overtuigd zijn dat een simpel probleem altijd een simpele oplossing moet hebben. Zo zijn er nog altijd mensen die proberen een hoek met passer en liniaal precies in driete delen, terwijl al lang bewezen is dat dat niet kan.'

Wilt u belangrijke informatie delen met de Volkskrant?

Tip hier onze journalisten


Op alle verhalen van de Volkskrant rust uiteraard copyright.
Wil je tekst overnemen of een video(fragment), foto of illustratie gebruiken, mail dan naar copyright @volkskrant.nl.
© 2022 DPG Media B.V. - alle rechten voorbehouden