Het gelijk van de fruitstapelaar

Twee Amerikaanse wiskundigen denken de oplossing te weten van het bijna vier eeuwen oude vraagstuk hoe bollen het meest efficiënt worden opgestapeld....

ELKE willekeurige groenteboer stapelt zijn sinaasappels op zoals het intuïtief het beste lijkt: de tweede laag netjes in de kuiltjes van de laag eronder. Bijna vierhonderd jaar geleden, in 1611, schreef de wiskundige Johannes Kepler in een nieuwjaarsgeschenk voor zijn beschermheer, te vermoeden dat het op geen enkele manier efficiënter zou kunnen. Maar zeker wist hij het niet.

Wiskundigen hebben zich sindsdien tevergeefs het hoofd gebroken over een waterdicht bewijs voor het gelijk van de nietsvermoedende stapelaar. Tien jaar geleden publiceerde Wu-Yi Hsiang in Berkeley naar eigen zeggen een 'definitief bewijs' van het vermoeden van Kepler, maar volgens zijn collega's was dat verre van overtuigend. Keplers vermoeden was en bleef onbewezen, al kon niemand een efficiëntere manier verzinnen om een ruimte met bollen te vullen.

Sinds zondagochtend 9 augustus, 9.54 uur, is alles anders. Toen stuurde de Amerikaanse wiskundige Tom Hales van de Universiteit van Michigan in Ann Arbor een e-mailtje aan collega's over de hele wereld, dat hij het bewijs had afgerond. In vijf artikelen van samen meer dan 250 pagina's doet hij, samen met zijn promovendus Sam Ferguson, het stap voor stap uit de doeken. Wie wil, kan alles op hun internet-site ophalen, en nalopen.

Dat het bewijs er ligt, zegt de vorig jaar december op aspecten van het stapelprobleem gepromoveerde Nederlandse wiskundige dr. Hans Melissen, is geen grote verrassing. 'In mijn proefschrift merkte ik zijn plan van aanpak al als kansrijk aan. Kennelijk heeft Hales nu het idee dat de zaak is afgerond en legt hij het aan derden voor. Als het die beoordeling doorstaat, dient hij het in bij een tijdschrift, waar het nog eens wordt nagelopen en dan eventueel gepubliceerd. Ik acht het op dat moment pas echt bewezen.'

Toch zijn de eerste reacties opmerkelijk opgetogen geweest. John Conway van Princeton University, een autoriteit op stapelgebied, zei eerder dat het geheel er overtuigend uitziet. 'Hij documenteert elke stap zorgvuldig, zodat iedereen die twijfelt precies weet waar hij zijn moet. Hales werk aan het probleem is de laatste jaren steeds nauwgezet en geloofwaardig geweest. Als hij zegt dat hij geslaagd is, is dat hoogstwaarschijnlijk ook zo.'

Keplers stapelprobleem is vooral moeilijk op te lossen omdat er bewezen moet worden dat er geen enkele van oneindig veel mogelijke stapelingen, regelmatige én willekeurige, de ruimte beter vult dan het vlak-gecentreerde kubische rooster (fcc) van de groenteman. Die, zo is gemakkelijk na te rekenen, bereikt een doelmatigheid van 74 procent. Een stapeling waarbij bijvoorbeeld bollen precies op elkaar worden gelegd, vult slechts 52 procent.

In de negentiende eeuw stelde Carl Friedrich Gauss al vast dat er geen enkele regelmatige rangschikking bestaat die doelmatiger is dan de fcc-stapeling. En in de jaren vijftig berekende de Brit C. Rogers dat er in elk geval geen enkele stapeling meer dan pakweg 77,97 procent van de ruimte kan opvullen.

Hales' bewijs dat het ook met onregelmatige stapelingen niet beter kan, is geen wiskundig bewijs in de conventionele zin van het woord. Het rust voor een aanzienlijk deel op computerberekeningen, een benadering die al teruggaat op een idee van de Hongaarse wiskundige László Fejes Tóth uit 1953. Die reduceerde Keplers vermoeden toen tot het oplossen van een immens complexe vergelijking en suggereerde later dat computers daarbij nuttige diensten zouden kunnen leveren.

Vorig jaar beschreef Hales een strategie in vijf stappen, om Tóths programma systematisch af te werken. Voor de oplossing van Keplers vraagstuk bestudeerde hij een vergelijking met 150 variabelen, die in uiteenlopende combinaties alle soorten stapelingen van bollen weergeeft. De uitdaging was daarbij aan te tonen dat er geen enkele combinatie van variabelen bestaat die een dichtere pakking geeft dan 74 procent.

Recht-toe recht-aan is dat zelfs met een computer onbegonnen werk, maar Hales en Ferguson ontwikkelden talloze trucs en afsteekjes om het proces te bespoedigen. Melissen: 'Dat is hun belangrijkste bijdrage, denk ik. Echt nieuwe wiskunde komt er niet aan te pas, wel veel handigheid en doorzettingsvermogen.'

Hales merkte in zijn bekendmaking zelf als eerste op dat zijn resultaten nog maar een voorlopig karakter hebben. 'Ze zijn nog niet grondig door derden beoordeeld en zelfs niet aangeboden voor publicatie in een tijdschrift. De bewijzen zijn voor zover ik weet echter correct en compleet.'

Hales en Ferguson zijn daartoe in elk geval niet over één nacht ijs gegaan. Om uit te sluiten dat de gebruikte computers door storingen fouten kunnen hebben geïntroduceerd, schreven beide wiskundigen afzonderlijk allebei de benodigde computerprogramma's. Bij hun formele bewijs hoort zodoende ook nog drie megabyte aan computerprogramma's en rekenuitkomsten.

Volgens Melissen wordt het nalopen van Hales' bewijs het grootste probleem. 'Wiskundigen zijn gewend aan formele bewijzen. Nu moeten ook hun computerprogramma's en misschien zelfs de gebruikte computers worden gecontroleerd. Dat is allemaal zo nieuw, dat niemand precies weet hoe je dat aanpakt.'

Hoewel computerbewijzen door veel traditionele wiskundigen niet hoog worden aangeslagen, is dat volgens John Conway in dit geval niet eens het grootste probleem. 'Vooral de omvang van dit bewijs, honderden pagina's en megabytes computerfiles, maakt het gewoon riskanter dan een kort, overzichtelijk bewijs. Mijn water zegt me dat het met een andere aanpak beknopter kan.'

Martijn van Calmthout

Meer over

Wilt u belangrijke informatie delen met de Volkskrant?

Tip hier onze journalisten


Op alle verhalen van de Volkskrant rust uiteraard copyright. Linken kan altijd, eventueel met de intro van het stuk erboven.
Wil je tekst overnemen of een video(fragment), foto of illustratie gebruiken, mail dan naar copyright @volkskrant.nl.
© 2021 DPG Media B.V. - alle rechten voorbehouden