Getal 1,6180339 zit prettig tussen de oren

Sommige getallen hebben een grotere kennissenkring dan andere. Zo zal pi toch hier en daar nog wel eens ter sprake komen....

En zelfs e, het altijd wat onbegrijpelijke grondtal van de natuurlijk logarithme, kan hier en daar in elk geval op herkenning rekenen. 2.7182..., ja toch?

Nee, dan het getal 1,6180339887.... Zeg het maar. Niemand?

Toch, schrijft de Amerikaanse astrofysicus en schrijver Mario Livio in zijn boek The Golden Ratio, hebben weinig getallen een zo menselijke maat als juist dit merkwaardige exemplaar, dat daar maar zo'n beetje tussen anderhalf en eendriekwart bengelt met puntjes die suggereren dat niemand precies weet waar dan.

Niet alleen in de wiskunde speelt deze zogeheten gulden snede een opmerkelijke en prominente rol. Ook in beeldende kunst, in de astronomie, de biologie, ecologie, de architectuur en zelfs de muziek lijkt het voortdurend op te duiken. Het is een beetje alsof de Schepper geen zin had om steeds weer iets nieuws te verzinnen.

Phi, zoals het wonderbaarlijke getal door wiskundigen wordt genoemd, heeft dan ook veel te maken met passende verhoudingen der dingen, iets wat natuurlijk op talloze manieren ook een rol speelt in het echte leven.

Bij de eenvoudigste definitie van phi gaat het om niets anders dan verhoudingen. Neem een lijnstuk en zet ergens een punt, zodanig dat de lengte van de hele lijn gedeeld door die van het langste gedeelte is als de verhouding van de lengte van het langste gedeelte tot die van het kortste gedeelte. In dat geval staat de punt op de gulden snede. En dan is de gezochte verhouding het nooit-eindigende, zichzelf nimmer achter de komma herhalende getal 1,6180339887...

Historische gaat phi terug op de studie van de oude Grieken van regelmatige veelhoeken en veelvlakken, die als symbolen voor de elementen - en voor nog veel meer - werden gezien. Het vijfster of pentagram ('Jodenster') en het nauwverwante vijfhoek of pentagon (de omtrek van een pentagram) leiden haast vanzelf naar de gulden snede.

In de vijfde eeuw voor christus ontdekte Hippasus van Metapontum de school van Pythagoras dat er iets vreemds aan de hand is met de manier waarop de zijden van het pentagram elkaar doorsnijden. Alle pogingen om dat in een breuk uit te drukken liepen op niets uit. Hippasus ontdekte daarmee niet alleen het bestaan van irrationele getallen, die in zijn ogen van god los waren. Hij ontdekte ook het eerste voorbeeld: 1,6 en nog zo wat.

In de natuur komen de gulden snede en enkele afgeleide grootheden voortdurend aan het oppervlak. De kamers van de schelp van de nautulis hebben verhoudingen die volgens de gulden snede verlopen. Het getal definieert de spiralen waarin de zaden in zonnebloemen gerangschikt zijn, en de vruchtknoppen in de ananas.

Duidt de hardnekkige aanwezigheid van de gulden snede en afgeleide grootheden in kunstwerken daarom misschien op een soort natuurlijke 'schoonheid'? En vinden we ze om die reden mooier dan andere? Livio is prettig sceptisch over die voor de hand liggende gedachte.

In de eerste plaats laat hij overtuigend zien dat veel bekende gulden snedes in beroemde kunstwerken eigenlijk niet bestaan, als een en ander nog eens rustig wordt nagemeten.

Bijvoorbeeld geldt dat voor de Egyptische piramides, waarin menigeen tal van veelbetekenende verhoudingen dacht te zien. Onzin, laat Livio zien, en vooral heel veel wishful thinking.

Op dezelfde manier gaat hij psychologische onderzoeken te lijf waaruit zou blijken dat mensen de neiging hebben objecten met gulden afmetingen mooier te vinden dan minder geproportioneerde. Die studies, zo blijkt, gaven vaak enorm gespreide resultaten, zodat conclusies meer een kwestie van presentatie werden. Esthetiek en de gulden snede zijn niet vanzelf met elkaar verbonden.

Toch blijft een reële vraag waarom sommige verhoudingen, van muziektonen tot vlakverdelingen, ons meer emotioneren dan andere. Volgens Livio heeft dat niet zozeer te maken met een soort natuurlijke harmonie, als wel met de verbazing die het opduiken van die bekende verhoudingen op onverwachte plekken opwekt. Wat, ook al in een ananas? En in de partituren van Bach?

Livio komt tot nuchtere conclusies. Juist het gegeven dat we de gulden snede in de kunsten als een prettige verhouding ervaren, bewijst volgens hem dat het een zuiver menselijke vinding is. Precies zoals hij de hele meetkunde en wiskunde als menselijke uitvindingen ziet.

'De regels van het spel zijn overduidelijk mensenwerk, maar daarna is het spel een eigen leven gaan leiden en moesten (en moeten) wij mensen alle eigenaardigheden ervan zien te ontdekken', schrijft hij. In feite leren we op die manier dus ook vooral onszelf kennen, aldus Livio.

Dat zijn fijnzinnige bespiegelingen. Maar heel veel meer nieuws heeft Livio, die als wiskundige verbonden is aan het Amerikaanse instituut dat de beelden van de Hubble telescoop analyseert, eigenlijk toch niet te melden. En vooral omdat zijn pen toch net de zwier mist van doorgewinterde wiskundigen als Ian Stewart, Martin Gardner of Keith Devlin valt te vrezen dat The Golden Ratio het getal phi niet aan veel nieuwe vrienden zal helpen.

Meer over

Wilt u belangrijke informatie delen met de Volkskrant?

Tip hier onze journalisten


Op alle verhalen van de Volkskrant rust uiteraard copyright. Linken kan altijd, eventueel met de intro van het stuk erboven.
Wil je tekst overnemen of een video(fragment), foto of illustratie gebruiken, mail dan naar copyright @volkskrant.nl.
© 2020 DPG Media B.V. - alle rechten voorbehouden