De wiskunde kapotgemaakt; Het grondslagen-onderzoek van L.E.J. Brouwer

De wiskundige L.E.J. Brouwer is onderwerp van de voorstelling Zijdelings afgesproten, die 17 december in première gaat. Hij was een geniaal wetenschapper, maar koesterde extreme opvattingen over tal van ethische vragen, die hij vastlegde in zijn boek Leven, Kunst en Mystiek....

VAN DE Engelse filosoof Bertrand Russell is de fatale uitspraak dat 'Mathematics may be defined as the subject in which we never know what we are talking about, nor whether what we are saying is true'. Minder dan een eeuw eerder had de Duitse wiskundige Karl Friedrich Gauss de wiskunde als 'koningin van de wetenschappen' gekwalificeerd. Het is bijna niet in te zien dat Gauss en Russell het over hetzelfde onderwerp hadden.

Zo'n veertig jaar lang, tussen ongeveer 1900 en het uitbreken van de Tweede Wereldoorlog, heeft de vraag naar de grondslagen van de wiskunde het vakgebied beheerst of om preciezer te zijn: de vragen wat bestaat? en hoe kunnen we vaststellen of datgene wat we erover zeggen waar is?

In deze discussie worden gewoonlijk drie standpunten onderscheiden: de logicistische, de formalistische en de intuïtionistische benadering. De namen die met deze richtingen worden geassocieerd zijn die van respectievelijk Bertrand Russell, de Duitser David Hilbert, en de Nederlander Luitzen Egbertus Jan Brouwer.

Het is deze Brouwer (1881-1966) die onderwerp is gemaakt van een muziekvoorstelling. Brouwer was een uitzonderlijke, ongenaakbare persoonlijkheid. Wat vooral blijkt uit zijn teksten over mystiek en omstreden opvattingen over vrouwen, die het zwaartepunt vormen van de toneeltekst. Zijn betekenis voor de wiskunde is echter onomstreden.

In de discussie over grondslagen ging het logicisme van Russell uit van een realistisch standpunt, van de gedachte dat de wiskunde compleet kan (en moet) worden teruggevoerd op de universele waarheid van de logica, die wordt opgevat als de leer van het zuivere redeneren.

Dat wil zeggen dat de wiskundige begrippen (bijvoorbeeld: de getallen) expliciet kunnen worden afgeleid uit logische begrippen en dat de stellingen (die bijvoorbeeld bepaalde eigenschappen van de getallen beschrijven) worden afgeleid uit de logische axioma's. De waarheid van stellingen wordt in deze visie 'ontdekt', 'lag in feite al klaar', omdat ze 'op zichzelf' bestaan: ze hadden ook door iemand anders kunnen worden vastgesteld.

In plaats van 'ontdekkingen' spreekt het intuïtionisme van 'uitvindingen', van begrippen die tot stand komen als gevolg van een mentale activiteit, en door Brouwer is het wiskundig bedrijf derhalve aangeduid als een vorm van 'Bouwen in de geest', inner architecture.

Het bouwsel dat in de geest tot stand komt, correspondeert niet met een of ander bouwsel buiten de geest, omdat het bestaan van dergelijke bouwsels wordt ontkend. Daarmee wordt ook de logica als grondslag van de wiskunde overboord gezet.

De derde richting, die van het formalisme, spreekt zich niet uit over de vraag of wiskundige begrippen alleen buiten of binnen de geest bestaan, maar gebruikt ze slechts voor zover ze 'een denk-economische functie hebben binnen de theorie': ze maken het wiskundig redeneren overzichtelijk, en de vraag 'Wat bestaat?' wordt afhankelijk gemaakt van 'Wat bestaat op een consistente manier?'

Het lijkt erop dat het logicisme als eerste is gesneuveld, als gevolg van een aantal rampen die zich aandienden in de verzamelingsleer. In zijn in 1903 verschenen Principles of Mathematics verkondigde Russell dat de wiskunde in haar geheel kon worden herleid tot uitspraken van het type p impliceert q, waarbij p en q proposities met variabelen en logische constanten waren. In het bijzonder was Russell van mening dat de logische grondslagen van de verzamelingsleer moesten worden vastgelegd, omdat al in de tweede helft van de negentiende eeuw was aangetoond dat de wiskunde zelf (als geheel) als een samenhang van verzamelingen kon worden geconstrueerd.

Kort daarop ontstonden de eerste problemen. In de eerste plaats bleek het bouwwerk van de verzamelingsleer, dat tot voor kort feilloos en smetteloos werd geacht, allerlei onverwachte mankementen te vertonen, die de gedaante hadden van paradoxen. Een beroemde is die van de verzamelingen die zichzelf als element hebben. Bijvoorbeeld 'de verzameling van alle objecten die op deze pagina beschreven worden'. Als we vervolgens een tweede verzameling construeren, B, en we definiëren die als de verzameling van alle verzamelingen, behalve de verzamelingen die zichzelf als element hebben, dan ontstaat het volgende probleem: heeft B zichzelf als element? Antwoord: nee. Heeft B zichzelf niet als element? Antwoord: eveneens nee.

Het intuïtionisme en het formalisme bleven elkaar als de twee overgebleven stromingen in de grondslagendiscussie in de personen van Brouwer en Hilbert te vuur en te zwaard bestrijden, vaak met middelen die eerder aan het straatvechtersidioom dan aan de wiskunde waren ontleend.

Brouwer zou in eerste instantie niet als overwinnaar uit de bus komen. Door toedoen van Hilbert werd Brouwer uit de redactie van het gezaghebbende tijdschrift Mathematische Annalen verwijderd. Wat achteraf bezien een tragische gebeurtenis was. Ook buiten de wiskunde waren Brouwers opvattingen niet onomstreden, opvattingen die grotendeels waren verwoord in zijn boek Leven, Kunst en Mystiek, dat in 1905 verscheen. Het is het werk van een misantroop en van iemand die alle communicatie bij voorbaat verdacht vindt.

De cruciale tegenstelling in de oorlog tussen Brouwer en Hilbert betrof het Aristotelische principe van de uitgesloten derde, het 'tertium non datur', dat zegt dat iets waar is of onwaar en dat er niet nog een andere mogelijkheid is. Dat principe had het meer dan tweeduizend jaar uitgehouden, zonder dat iemand op het idee was gekomen eraan te twijfelen. Brouwer ging er, in het kort, vanuit dat een wiskundig bewijs synoniem is aan de bewering die door dat bewijs wordt bekrachtigd: de bewering p (bijvoorbeeld 'het sneeuwt') is waar als we niet alleen weten dat p waar is, maar pas als er voldoende motieven zijn om dat te weten, en als we die motieven kunnen demonstreren.

Het feit dat er beweringen bestaan waarbij dat niet kan, maakt dat we bij dat soort beweringen niets kunnen doen met het onderscheid waar/onwaar, maar dat er klaarblijkelijk nog een derde waarheidwaarde ('indifferent' of 'onbeslist') bestaat.

Een wiskundig voorbeeld van een dergelijke redenatie betreft het zogenoemde Vermoeden van Goldbach, dat beweert dat elk even getal de som is van twee priemgetallen. Het enige wat ervoor nodig is om dit vermoeden overboord te zetten is een tegenvoorbeeld, een getal waarvoor de hypothese niet opgaat. Zo'n tegenvoorbeeld is nooit gevonden en de meeste wiskundigen redeneren daarom als volgt: gegeven het feit dat er geen tegenvoorbeeld is, is er geen reden om het vermoeden van Goldbach a priori te verwerpen.

Voor Brouwer is dat een onwerkbare methode: het vermoeden van Goldbach is alleen zinvol als we een tegenvoorbeeld kunnen construeren, en zolang dat niet het geval is - zolang het onbeslist is - kan er geen waarheidswaarde aan worden toegekend.

Ondertussen werden Brouwers exercities aan de universiteit van Göttingen, door Hilbert, met argusogen gevolgd. De omverwerping van het principe van de uitgesloten derde stond wat hem betreft gelijk aan ketterij, aan 'de wiskunde kapotmaken'.

Het tolereren van onbesliste waarheden stond haaks op het vooruitgangsoptimisme waarmee Hilbert de twintigste eeuw was ingegaan, toen hij in 1900 op een congres in Parijs zijn publiek had voorgehouden dat 'ieder mathematisch probleem streng opgelost kan worden, hetzij doordat men de gestelde vraag bevestigt, hetzij doordat men de onmogelijkheid van een oplossing kan aantonen'.

Nadat Brouwer door Hilbert op een zijspoor was gerangeerd, zou het tot ver na de Tweede Wereldoorlog duren totdat Brouwer de internationale erkenning kreeg waar hij recht op had. Die erkenning gold echter voornamelijk Brouwers baanbrekende werk in de topologie, de afdeling van de wiskunde die zich bezighoudt met de ruimtelijke eigenschappen van voorwerpen waarvan de vorm kan worden veranderd. De grondslagendiscussie zelf was achter de horizon verdwenen. Het was in de praktijk immers zo helder als glas dat men ook wiskunde kon bedrijven zonder zich over die fundamenten een al te duidelijke voorstelling te maken.

In 1967 publiceerde The Journal of Philosophy een beschouwing van Hilary Putnam, waarin met het gemak waarmee een ober een haar uit een bord soep vist werd gesteld: 'I don't think mathematics has a crisis in its foundations; indeed, I do not believe mathematics either has or needs ''foundations''.' En in nog weer een ander stuk toonde Putnam aan dat het intuïtionisme van Brouwer onverenigbaar was met de wet van universele zwaartekracht van Isaac Newton. Alleen door aan te nemen dat de objecten van de realiteit volstrekt op fictie berusten, met inbegrip van onze geestelijke voorstellingen en onze identiteit alleen dan blijft het intuïtionisme overeind. Hier grenst Brouwers wiskundige creativiteit overigens aan zijn beruchte voorliefde voor het magische en aanzijn opvatting dat 'wetenschappelijke waarheid niet meer is dan een zekere verdwazing der, hier uitsluitend in het hoofd levende, begeerte'.

Er bestaat geen 'theorie van de wiskunde' er bestaat alleen wiskunde. En de vraag of het allemaal klopt, waarop het berust, wat er van waar is, waar het zich bevindt, en hoe we dat met zekerheid kunnen vaststellen zal theoretisch blijven zolang zich op het niveau van de concurrentie geen tweede kandidaat aanbiedt die hetzelfde presteert als de wiskunde, maar die toevallig beschikt over minder ballorige antecedenten.

C & A is toch voordeliger. Men gaat gewoon over tot de orde van de dag, en elke wiskundige kan - zoals ik me herinner van een logicus uit Utrecht - het bord schoonvegen dat de vorige docent heeft achtergelaten, zijn publiek met enige ironie aankijken, en vervolgens van wal steken met de mededeling: Dames en heren, de wiskunde is om te beginnen een heel triviaal vak.

Wat Brouwer zelf betreft: het moest er een keer van komen. Niet de wiskundige, maar de magiër, de vrouwenhater, de cultuurpessimist, de mysticus die de wiskunde eigenlijk maar van ondergeschikt belang vond. In de verte lijkt hij op de Theatermacher van Thomas Bernhard. Het kan geen toeval zijn dat uitgerekend Discordia in Brouwer de grondslag heeft gezien voor wat vermoedelijk de merkwaardigste theaterproductie van dit seizoen zal worden.

Meer over

Wilt u belangrijke informatie delen met de Volkskrant?

Tip hier onze journalisten


Op alle verhalen van de Volkskrant rust uiteraard copyright. Linken kan altijd, eventueel met de intro van het stuk erboven.
Wil je tekst overnemen of een video(fragment), foto of illustratie gebruiken, mail dan naar copyright @volkskrant.nl.
© 2019 de Persgroep Nederland B.V. - alle rechten voorbehouden