'De kans is nul' is niet hetzelfde als 'dat gaat niet gebeuren'

Op internet zijn vele, filosofische, discussies te vinden over wat kans nul betekent. Zo oppert iemand ergens dat de kans nul is dat je met een normale dobbelsteen een 7 gooit, want die zit niet op de dobbelsteen. Dus die kans is inderdaad nul. Of stel dat je een willekeurig geheel getal mag kiezen. De kans dat je 1.729 kiest, is dan theoretisch nul: er zijn immers oneindig veel getallen. Toch is het helemaal niet ondenkbaar dat je juist dit getal zult kiezen.

De term 'kans nul' heeft voor wiskundigen een heel precieze betekenis. Ik zat te piekeren over de beste uitleg voor deze column en vroeg advies aan wiskundige K.P. Hart, die mij tijdens mijn studie alles leerde over kans nul. Helaas is zelfs de eenvoudigste uitleg nogal pittig en wie het écht wil begrijpen, kan zich het beste aanmelden voor een college maattheorie. Sommige dingen zijn eigenlijk te moeilijk voor een column.

Hierbij een korte uitleg van wat wiskundigen denken bij Ruttes kans nul. K.P. Hart stelde voor om te denken aan het stukje getallenlijn tussen nul en één. Op die getallenlijn gaan we een willekeurig getal kiezen met behulp van een muntje. We gooien die munt oneindig vaak op (zoiets kan natuurlijk alleen in gedachten, maar dat is voor wiskundigen geen probleem). We gebruiken de muntworpen om het interval steeds in tweeën te delen. De eerste keer kiezen we de helft links van een half als we kop gooien en de helft rechts van een half als we munt gooien. De volgende worp wijst weer naar links of rechts in het bij de vorige worp bepaalde interval, enzovoort. Zo houden we na elke stap een steeds kleiner stukje van de getallenlijn over. De oneindige reeks muntworpen levert uiteindelijk precies één willekeurig getal op.

Bij deze methode is voor elk tweetal getallen a en b (met beide getallen tussen nul en één en a kleiner dan b) de kans dat het gekozen getal in het interval van a tot b zit gelijk is aan b-a. We zien dus dat de kans dat een interval geraakt wordt gelijk is aan zijn lengte. En dan is de kans dat een individueel punt geraakt wordt dus nul.

Aan de andere kant: we kiezen uiteindelijk één getal, dus een gebeurtenis met kans nul moet zich wel voordoen. Wat dit ook inhoudt, is dat als we dit experiment oneindig vaak herhalen we een interval raken met een frequentie die gelijk is aan zijn lengte.

En daarom hoort een wiskundige Rutte twee verschillende dingen zeggen: eerst zegt hij dat de kans op regeren met de PVV nul is, wat iets betekent als: 'bij een oneindig lange rij willekeurige formaties is de relatieve frequentie van kabinetten met VVD en PVV gelijk aan nul'. Wat technisch inhoudt dat VVD en PVV best eens in de zoveel tijd samen kunnen regeren. Ze zouden bijvoorbeeld bij eerste, tweede, vierde, achtste, zestiende, ... formatie kunnen samenwerken en toch de frequentie op nul houden. Maar Rutte geeft in het tweede deel van zijn uitspraak aan, dat hij helemaal geen rij willekeurige formaties voorziet, want hij sluit kabinetten met VVD en PVV uit.

Kortom: wat Rutte had moeten zeggen is: 'De kans dat de VVD gaat reageren met de PVV is nul. Sterker nog: dat gaat niet gebeuren.'