Het Monty Hall-probleem

Dit najaar organiseert de Volkskrant samen met de HBO-raad de Nationale Rekentest, naar analogie van het Groot Dictee der Nederlandse Taal, en de organisatie vroeg mij deze te presenteren. Om in de stemming te komen hier een binnenkomer; het is een oud verhaal, maar proefondervindelijk bleek dat de meesten van mijn studenten het niet kenden. Het is de zogenoemde Monty Hall-vraag.

Die werd bekend via een Amerikaanse schrijfster/columiste, Marilyn vos Savant, die volgens het Guiness Book of Records het hoogste IQ ter wereld zou hebben. Ze had een column, Ask Marilyn, in het tijdschrift Parade en daarin beschreef ze deze vraag in 1990. De column leverde haar een hoop kritiek op, maar ze had gelijk.

Hier is de vraag, Monty Hall is genoemd naar een lokaal bekende tv-quiz. Omdat over het onderwerp vervolgens eindeloos (tot The New York Times aan toe) is gediscussieerd, geef ik u een zeer precieze versie. Als je door een exacte vraagstelling misverstanden uitsluit, is het eigenlijk een simpel vraagje geworden, maar toch is je eerste reactie het foute antwoord te kiezen.

Een (eerlijke) quizmaster toont een deelnemer drie gesloten deuren. Achter precies één deur zit een mooie auto, achter elk van de twee andere een geit; de quizmaster weet wat waar zit. Hij zegt tegen de deelnemer: ‘U wijst eerst een deur aan (maar die laten we nog dicht). Dan open ik een van de andere twee deuren, en laat ik u zien dat daarachter een geit zit. Daarna mag u kiezen of u blijft bij uw eerste keuze, of van keuze verandert naar de andere gesloten deur. U wint wat er staat achter de deur die u kiest.’

Dan gebeurt er dit: u wijst deur 1 aan, en de quizmaster laat zien dat achter deur 3 een geit staat. De vraag is deze: kunt u uw kans op de hoofdprijs verhogen door te switchen naar deur 2?

Volgens Marilyn was het antwoord ‘ja’. Marilyn had gelijk, maar er verschenen zeer pedante en soms zelfs honende ingezonden brieven van universitaire wiskundigen en statistici die haar corrigeerden. Zij dachten, zoals vele anderen, dat de kans dat achter elk van de twee gesloten deuren 1 en 2 een geit staat, even groot is (50 procent, als de derde deur met geit geopend is). En toch is de kans op een auto achter de tweede deur twee maal zo groot als achter de eerste deur.

Er zijn drie soorten manieren om dat te bewijzen. De eerste is de kansberekening netjes uit te voeren; doen we nu niet. De tweede is te proberen je intuïtie goed te sturen, en de derde is experimenteel.

Wat ik tot dusver beschrijf, is feitelijkheid, maar deze twee pogingen tot overtuigen, heb ik tijdens een warme vakantieavond in een ver buitenland voor de familie bedacht.

Intuïtie: als alle deuren nog dicht zijn, zijn we het eens dat de kans op de auto achter deur 1 eenderde is. We zijn het ook eens dat de kans op een auto achter deuren 2 en 3 samen tweederde is. We zijn het ten slotte eens dat de quizmaster altijd een deur kan openen waarachter een geit staat, kiezend uit deuren 2 en 3. Maar dat verandert toch niets aan het feit dat de kans op een auto achter deuren 2 en 3 samen tweederde is?

Dus als de quizmaster – gebruikmakend van zijn kennis waar de auto staat – deur 3 opent voor een geit, dan moet de kans dat de auto achter deur 2 staat toch tweederde zijn? Deur 2 is, anders dan je misschien denkt, niet equivalent aan deur 1, want deur 1 heeft de deelnemer willekeurig gekozen (zonder voorkennis), maar deur 2 is door de quizmaster beoordeeld (want als achter deur 3 de auto had gestaan, had de quizmaster deur 2 geopend).

Als u hierdoor niet overtuigd bent, en dat hoop ik eigenlijk, dan heb ik methode drie, die u bij een glaasje rosé een mooie zomeravond kan opleveren. Een spel voor twee. U neemt drie servetten (of bierviltjes). De quizmaster legt onder een van de drie een euro. U wijst een van de drie servetten aan. De quizmaster tilt een van de twee andere servetten op, en laat zien dat daar de euro niet ligt. En nu heeft u twee mogelijkheden, en ik stel voor dat u allebei dertig keer achter elkaar probeert. In de eerste serie blijft u dertig keer bij uw eerste keuze. U zult zien: u wint ongeveer eenderde. En in de tweede serie kiest u er consequent dertig keer voor om van keuze te switchen. Ik voorspel u: u wint dan ongeveer tweederde keer.

Ik hoop dat u zich vermaakt. Ingezonden brieven dat er niets van klopt, zijn welkom, vooral als u een boze professor of leraar bent, en zet er dan vooral uw functie bij. Het leuke aan dit voorbeeld is dat het laat zien hoe je intuïtie je soms in de steek kan laten.